funcion cuadratica segunada parte

funcion cuadratica 

 

 formula para encontrar  el eje de simetria , el vertice 

funcion cuadratica

                                       FUNCION CUADRATICA

1. Vértice

Por el vértice pasa el eje de simetría de la parábola.

La ecuación del eje de simetría es:

En el eje de abscisas la segunda coordenada es cero, por lo que tendremos:

ax² + bx + c = 0

Resolviendo la ecuación podemos obtener:

Dos puntos de corte: (x₁, 0) y (x₂, 0) si b² − 4ac > 0

Un punto de corte: (x₁, 0) si b² − 4ac = 0

Ningún punto de corte si b² − 4ac < 0

En el eje de ordenadas la primera coordenada es cero, por lo que tendremos:

f(0) = a · 0² + b · 0 + c = c        (0,c)

Ejemplo

Representar la función f(x) = x² − 4x + 3.

1. Vértice

x_v = − (−4) / 2 = 2     y_v= 2² − 4· 2 + 3 = −1       

 V(2, −1)

x² − 4x + 3 = 0

       

(3, 0)      (1, 0)

Grafico

(0, 3)

 

conjuntos

OPERACIONES CON CONJUNTOS

UNIÓN

La unión de dos conjuntos A y B la denotaremos por A U B y es el conjunto formado por los elementos que pertenecen al menos a uno de ellos ó a los dos. Lo que se denota por:

A U B = {x/x Î A ó x Î B}

Ejemplo: Sean los conjuntos A= {1, 3, 5, 7, 9} y B={ 10, 11, 12 }

A U B = {1, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 12}

INTERSECCIÓN

Sean A= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9} y B= {2, 4, 8, 12}

Los elementos comunes a los dos conjuntos son:{2, 4, 8}. A este conjunto se le llama intersección de A y B; y se denota por A Ω B, algebraicamente se escribe así:

A Ω B= {x/x î A y x Î B}

Y se lee el conjunto de elementos x que están en A y están en B.

Ejemplo:

Sean Q= {a, n, p, y, q, s, r, o, b, k} y P= {l, u, a, o, s, r, b, v, y, z }

Q Ω P= {a, b, o, r, s, y}

CONJUNTO VACIÓ

Un conjunto que no tiene elementos es llamado conjunto vacío ó conjunto nulo lo que denotamos por el símbolo ø

Por ejemplo:

Sean A= {2, 4, 6} y B= {1, 3, 5, 7} encontrar A Ω B.

A Ω B= { }

El resultado de A Ω B = { } muestra que no hay elementos entre las llaves, si este es el caso se le llamará conjunto vacío ó nulo y se puede representar como:

A Ω B = ø

CONJUNTOS AJENOS

Sí la intersección de dos conjuntos es igual al conjunto vacío, entonces a estos conjuntos les llamaremos conjuntos ajenos, es decir: Si A Ω B = ø  entonces A y B son ajenos.

COMPLEMENTO

El complemento de un conjunto respecto al universo U es el conjunto de elementos de U que no pertenecen a A y se denota como A' y que se representa por comprensión como:

A'= {x Є U/x y x € A}

Ejemplo:

Sea U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

A= {1, 3, 5, 7, 9} donde A Ì U

El complemento de A estará dado por:

A'= {2, 4, 6, 8}

DIFERENCIA

Sean A y B dos conjuntos. La diferencia de A y B se denota por A-B y es el conjunto de los elementos de A que no están en B y se representa por comprensión como:

A - B={ x/x Є A ; X € B }

Ejemplo:

Sea A= { a, b, c, d } y

B= { a, b, c, g, h, i }

A - B= { d }

En el ejemplo anterior se observa que solo interesan los elementos del conjunto A que no estén en B. Si la operación fuera B - Al resultado es

B – A = { g, h, i }

E indica los elementos que están en B y no en A.

Metodo de sustitucion

Metodo de sustitucion para el sistema de ecuaciones 

 

1. Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones.

2. Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo un ecuación con una sola incógnita.

3. Se resuelve la ecuación.

4. El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita despejada.

5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

Ejemplo:

1. Despejamos una de las incógnitas en una de las dos ecuaciones. Elegimos la incógnita que tenga el coeficiente más bajo.

2. Sustituimos en la otra ecuación la variable x, por el valor anterior:

3. Resolvemos la ecuación obtenida:

4. Sustituimos el valor obtenido en la variable despejada.

5. resultado del ejercicio 

Metodo de igualacion

 MÉTODO DE IGUALDAD

hallar el resultado de x y de y por medio del método de igualación 

x - 5y = -14  (1)

x + 2y = 7    (2)

se despeja la misma incógnita en (1) y  (2) , asi  :

Despejando x en (1), se obtiene:          x = -14 + 5y (3)

Se despeja x en (2) y queda:                x = 7 - 2y     (4)

Despejando x en (1), se obtiene:          x = -14 + 5y (3)

Se despeja x en (2) y queda:                x = 7 - 2y     (4)

Igualando (3) y (4) queda lo siguiente:  -14 + 5y = 7 - 2y

Al hacer transposición de términos:       5y + 2y = 7 + 14

Resolviendo términos semejantes:                7y = 21

Aplicando propiedad de las igualdades:         y = 21/7

Por último, se simplifica y se tiene:                 y = 3

Ahora nos toca encontrar el valor de x 

Para terminar, se remplaza el valor de y en cualquiera de las dos ecuaciones originales, y obteniendo lo siguiente:

En este caso se tomará la ecuación (1):

x  -  5y   =  -14       (1) Remplazando el valor de y.

x  -  5(3) =  -14      Se resuelve la operación indicada

x  -  15   =  -14       Haciendo la transposición de términos

         x  =  15 - 14  Por último se resuelve la diferencia y queda:

         x  =   1 

Representacion graficas de funciones lineales

REPRESENTACIÓN  GRÁFICAS DE FUNCIONES LINEALES 

Lo primero que vamos a ser es gratificar la siguiente función

y = 2x- 3

vamos a poner valores a las x para poder remplazar encontrar los valores de y 

                                                      x        y                       

   

   -2     -7                          

-1      -5                        

0     -3                     

 1      -1                       

    2      1                         

de esta manera podemos resolver la ecuación 

y = 2 (-2)-3

aplicamos la ley de signo + por - es  - y multiplicamos 2 por 2 igual a 4 bajamos el segundo termino igual  y esto nos va dar -7 como respuesta porque los  signos iguales se suma.

obteniendo primer valor de y 

y = -4 -3 =-7

copiamos el mismo ejercicio pero ahora vamos a sustituir la el valor x por (-1) 

                    

                                                                        y = 2 (-1)-3

repetimos los mismos pasos la ley de signo y multiplicamos lo que esta en el paréntesis y bajamos el segundo termino y sumamos obteniendo el segundo valor de y 

                                                                       y = -2 -3 =-5

volvemos a repetir el proceso pero ahora con el valor  0 multiplicamos y sacamos el valor de y

y = 2 (0)-3

     y = 0 -3 =-3

ahora nos toca resolver los valores positivo con el mismo proceso solo cambia los signos 

     y = 2 (1)-3

  y = 2 -3 =-1

  y = 2 (2)-3

 y = 4 -3 = 1

Gratificamos con los valores que hemos obtenido 

Metodo de igualacion

SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES POR EL MÉTODO DE IGUALACIÓN

11 x = 17-y

2x = -5y+2

para resolver este ejercicio tenemos que despejamos una letra ya sea la x o la y en este caso vamos a  despejar ambas .

11x + y = 17               2x+5y =2

y  = 17-11x                         5y = 2-2x

como podemos observar en el lado izuierdo el ejercicio ya  tenemos despejado la el valor  y  pero al otro lado no es asi  entonces  comenzamos y   para dejarla sola  haciendo que er ejercicio se combierta en una fraccion.

 

colocamos el primer y segundo valor de y para sacar el minimo comun.

 

5(17-11x)    = 2-x

multiplicamos el valor que se encuentra a fuera del parentesis por cada uno de ellos conservando es mismo valor que esta despues del igual .

85-55x = 2-2 x  

ordenamos separando los valores  que tenga letar u los numeros que son enteros .

-55x +2x  =2-85

resolvemos haciendo una reduccion de termino.

-53 x = 83

obteniendo el valor de x  como resultado